វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី៦

I. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាលីមីត

ក. $\lim_{x\to 3} \sqrt{3x^2-11}$
ខ. $\lim_{x\to \frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{3}\sin(x-\frac{\pi}{3})}{(\frac{\pi}{3}-x)}$
គ. $\lim_{x\to +\infty} (2x-7-11\ln x)$

II. (១០ ពិន្ទុ) ប្រូបាប

ក្នុងថង់មួយមានប៊ូលពណ៌ស 2 ពណ៌ខៀវ 3 និងពណ៌ក្រហម 4 ។ គេចាប់យកប៊ូល 3 ចេញពីថង់ក្នុងពេលតែមួយ។ គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖
A: ប៊ូលទាំង 3 មានពណ៌ស។
B: ប៊ូលទាំង 3 មានពណ៌ខុសគ្នា។

III. (១៥ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

ក. គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = \sqrt{2}+i\sqrt{2}$ ។ រក $\overline{z_1}$ ($z_1$ ជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃចំនួនកុំផ្លិច $z_1$) ។
ខ. រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច $z_1$ ។ សរសេរ $z_1$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។
គ. បង្ហាញថា $z_1$ ជាឫសរបស់សមីការ $z^2=2(z\sqrt{2}-2)$ ។

IV. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាអាំងតេក្រាល

$I = \int_0^1 (3x^2-2x+1)dx$, $J = \int_0^1 (\frac{e^x}{e^x+1})dx$ និង $K = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^3 x \cos x)dx$ ។

V. (២៥ ពិន្ទុ) ធរណីមាត្រ

១. ក្នុងលំហប្រដាប់ដោយតម្រុយអូតូណរមេ $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ គេមានចំណុច $A(0,-2,0), B(-4,1,2), C(0,3,7)$ និង $D(4,0,5)$ ។ រកវ៉ិចទ័រ $\vec{AB}, \vec{BC}, \vec{CD}$ និង $\vec{AD}$ រួចបង្ហាញថាចតុកោណ $ABCD$ ជាចតុកោណកែង តែមិនមែនជាការេ។
២. គេមានសមីការ $9y^2=25(3-x)(3+x)$ ។ បង្ហាញថាសមីការនេះជាសមីការអេលីប។ រកប្រវែងអ័ក្សធំ អ័ក្សតូច កូអរដោនេនៃកំពូល និងកូអរដោនេនៃកំណុំរបស់អេលីបនេះ។ សង់អេលីបនេះ។

VI. (១០ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

គេមានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''=-4y$ ។
១. បង្ហាញថា $y = \lambda \cos 2x + \mu \sin 2x$ ដែល $\lambda, \mu$ ជាចំនួនពិត ជាចម្លើយរបស់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E)$ ។
២. រកចម្លើយពិសេសរបស់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E)$ ដែល $y''(0)=1$ និង $y'(0)=0$ ។

VII. (៣៥ ពិន្ទុ) អនុគមន៍

គេមានអនុគមន៍ $f$ ដែល $f(x)=x-2+\frac{2(x+1)}{e^x}$ ។ យើងតាង $(C)$ ក្រាបរបស់អនុគមន៍ $f$ នៅក្នុងប្លង់ប្រដាប់ដោយតម្រុយអូតូណរមេ $(O,\vec{i},\vec{j})$ ។
១. រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $f$ ។ គណនា $\lim_{x\to+\infty} f(x)$ និង $\lim_{x\to-\infty} f(x)$ (យើងដឹងថា $\lim_{x\to+\infty} \frac{x}{e^x}=0$) ។
២. បង្ហាញថាបន្ទាត់ $(D)$ ដែលមានសមីការ $y=x-2$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃ $(C)$ ត្រង់ $+\infty$ ។ បញ្ជាក់ទីតាំងនៃក្រាប $(C)$ ធៀបនឹងបន្ទាត់ $(D)$ ។
៣. យើងតាង $f'(x)$ ជាដេរីវេនៃ $f(x)$ ។ បង្ហាញថា $f'(x) = \frac{e^x-2x}{e^x}$ ។ គេដឹងថាគ្រប់ $x$ ជារបស់ $\mathbb{R}, e^x-2x>0$ ។ ប្រើលទ្ធផលនេះដើម្បីទាញរកសញ្ញានៃអនុគមន៍ $f$ ។
៤. បង្ហាញថាបន្ទាត់ $(\Delta)$ ទៅនឹង $(C)$ ត្រង់ចំណុចដែលមានអាប់ស៊ីស $0$ ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ $(D)$ ។ សង់បន្ទាត់ $(D), (\Delta)$ និងក្រាប $(C)$ ។