វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី៦១

I. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាលីមីត

ក. $\lim_{x\to +\infty} (x\ln(1+\frac{1}{x}))$
ខ. $\lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{x^2+3}-2}{x-1}$
គ. $\lim_{x\to \frac{\pi}{4}} \frac{1-\tan x}{\cos 2x}$

II. (១០ ពិន្ទុ) ប្រូបាប

ក្នុងថង់មួយមានប៊ូលក្រហម ៥ ប៊ូលស ៣ និងប៊ូលខៀវ ២។ គេចាប់យកប៊ូល ៣ ចេញពីថង់ដោយចៃដន្យ។
១. រកប្រូបាបដែលចាប់បានប៊ូលពណ៌ដូចគ្នាទាំង ៣។
២. រកប្រូបាបដែលចាប់បានប៊ូលមានពណ៌ខុសគ្នាទាំង ៣។

III. (១៥ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

១. សរសេរ $z = -1+i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។
២. គណនា $z^{10}$ ជាទម្រង់ពិជគណិត។

IV. (១៥ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

១. ដោះស្រាយសមីការ $(E): y''-3y'+2y=0$ ។
២. រកចម្លើយ $f(x)$ នៃ $(E)$ ដែល $f(0)=1$ និង $f'(0)=3$ ។

V. (១០ ពិន្ទុ) ធរណីមាត្រក្នុងលំហ

ក្នុងតម្រុយអូតូណរមេ គេមាន $A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1)$ និង $D(1,1,1)$ ។
១. គណនាមាឌតេត្រាអ៊ែត $ABCD$ ។
២. រកចម្ងាយពីចំណុច $D$ ទៅប្លង់ $(ABC)$ ។

VI. (៣៥ ពិន្ទុ) សិក្សាអនុគមន៍

អនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $f(x) = x-1+(x^2+2)e^{-x}$ ។
១. គណនាលីមីតត្រង់ $-\infty$ និង $+\infty$ ។
២. បង្ហាញថា $y=x-1$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតខាង $+\infty$ ។
៣. គណនា $f'(x)$ និងសិក្សាសញ្ញា។ (តាង $g(x)$ ជាជំនួយបើចាំបាច់)។
៤. សង់តារាងអថេរភាព និងក្រាប $(C)$ ។