វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី៧

I. (១០ ពិន្ទុ) គណនាលីមីត

ក. $\lim_{x\to 0} \frac{e^x+1}{2e^x}$
ខ. $\lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{x}-1}$
គ. $\lim_{x\to \frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{3}(\frac{\pi}{3}-x)}{\sin(x-\frac{\pi}{3})}$

II. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាអាំងតេក្រាល

ក. $I = \int_0^1 (2-x+2x^2)dx$
ខ. $J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\frac{\cos 4x - \cos 2x}{2})dx$
គ. គេមាន $f(x) = \frac{x^2-1}{2x-1}$ ។ បង្ហាញថា $f(x) = \frac{x}{2} + \frac{1}{4} - \frac{3}{4(2x-1)}$ ។ គណនា $K = \int_{-1}^0 f(x)dx$ ។

III. (១៥ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = i(3+2i)(2+i)^2$ ។
ក. សរសេរ $z_1$ ជាទម្រង់ពិជគណិត រួចរកចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ $z_1$ ។
ខ. សរសេរ $z_2 = z_1 + 19$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ គណនា $z_2^4$ និង $z_2^6$ ។

IV. (១០ ពិន្ទុ) ប្រូបាប

ក្នុងបណ្ណាល័យសាលាមួយមានសៀវភៅភាសាខ្មែរ ១១ នាក់ និងសៀវភៅអង់គ្លេស ៥ នាក់។ គេរៀបចំសៀវភៅភាសាខ្មែរឲ្យមានគ្នា ៤ នាក់ដោយចៃដន្យ ឲ្យធ្វើការជាមួយក្រុមសិស្សថ្នាក់ទី ១២។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖
A: ក្រុមការងារដែលមានសៀវភៅភាសាខ្មែរទាំង ៤ នាក់សុទ្ធតែជាធានី។
B: ក្រុមការងារដែលរៀបចំបានមានសៀវភៅ 50% ជាធានី។

V. (២៥ ពិន្ទុ) ធរណីមាត្រ

១. ក្នុងលំហប្រដាប់ដោយតម្រុយអូតូណរមេ $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ គេមានចំណុច $M(0,1,1), N(1,2,2), P(0,3,-4)$ និង $Q(-2,1,0)$ ។
ក. រកវ៉ិចទ័រ $\vec{MN}, \vec{NP}, \vec{NQ}, \vec{PQ}$ និងប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះ។
ខ. បង្ហាញថាត្រីកោណ $NPQ$ ជាត្រីកោណកែងត្រង់ $Q$ និងរកផ្ទៃក្រឡារបស់ត្រីកោណនេះ។
២. រកកូអរដោនេនៃកំពូល កំណុំ និងសមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិសរបស់ប៉ារ៉ាបូលដែលមានសមីការ $(y+2)^2=-8(x-2)$ ។ សង់ប៉ារ៉ាបូលនេះ។

VI. (៤០ ពិន្ទុ)

A. គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x) = x - \ln(1+x)$ ។ យើងតាងដោយ $(C)$ ក្រាបរបស់ $f$ ។
១. រកដែនកំណត់ $D$ នៃអនុគមន៍ $f$ ។ គណនា $\lim_{x\to -1^+} f(x)$ និង $\lim_{x\to+\infty} f(x)$ ។
២. សិក្សាអថេរភាពរបស់អនុគមន៍ $f(x)$ ដោយបង្ហាញសញ្ញាដេរីវេនៅលើ $D$ និងបញ្ជាក់សញ្ញានៃ $f(x)$ លើ $D$ ។
B. គេចង់សិក្សាទីតាំងរបស់ $(C)$ នៃ $f$ ធៀបទៅនឹងពហុធា $(P)$ ដែលមានសមីការ $y=\frac{1}{2}x^2$ ។
១. ក្នុងន័យនេះគេបង្កើតអនុគមន៍ $g$ កំណត់លើ $D$ ដែលកំណត់របស់ $f$ ដោយ $g(x) = f(x) - \frac{1}{2}x^2$ ។ សិក្សាអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $g$ និងទាញយកសញ្ញានៃ $g(x)$ កាលណា $x$ នៅលើ $D$ ។ សិក្សាទីតាំងនៃក្រាប $(C)$ ធៀបនឹងក្រាប $(P)$ ។
២. សង់ក្រាប $(C)$ និងក្រាប $(P)$ ក្នុងតម្រុយអូតូណរមេ $(O,\vec{i},\vec{j})$ ។