វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី៨

I. (១០ ពិន្ទុ) គណនាលីមីត

ក. $\lim_{x\to+\infty} [x\ln(1+\frac{1}{x})]$ គេដឹងថា $\lim_{X\to 0} \frac{\ln(1+X)}{X} = 1$
ខ. $\lim_{x\to 3} \frac{x^3-27}{27(\sqrt{x+6}-3)}$
គ. $\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{1-\sin^2 x}{2+2\sin x}$

II. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាអាំងតេក្រាល

ក. $I = \int_0^3 (x-1)(x+3)dx$
ខ. $J = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 5\sin^4 x \cos x dx$
គ. $K = \int_{\frac{1}{2}}^1 (\frac{3}{2x+1})dx$

III. (១៥ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

ដោះស្រាយក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិចនូវសមីការ: $z^2+4z+16=0$ ។ សរសេរចម្លើយទាំងពីរខាងដោយ $z_1$ និង $z_2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។

IV. (១០ ពិន្ទុ) ប្រូបាប

អ្នកលក់កាបូបម្នាក់ កាត់មានកាបូបដាក់សំលៀកបំពាក់ចំនួន 25 ដែលក្នុងនោះមានកាបូប 3 ដែលថែមធុង 1 ។ គេចាប់យកកាបូបមួយក្នុងចំណោម 25 ដោយចៃដន្យ។
ក. រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ A: "កាបូបដែលចាប់បានមិនថែមធុង"
ខ. អ្នកទិញកាតាបចាប់យកដោយមិនផ្ទៀងផ្ទាត់ ហើយគាត់ចាប់បានថង់ដាច់ខាតកាបូបចំនួន 7 តើគាត់ត្រូវទិញកាបូបយ៉ាងតិចប៉ុន្មាន?
គ. គេចាប់យកកាបូប 2 ម្តងដោយចៃដន្យក្នុងចំណោមកាបូបទាំង 25 ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ B: "កាបូបទាំងពីរចាប់បានមិនថែមធុង"

V. (២៥ ពិន្ទុ) ធរណីមាត្រ

១. ក្នុងលំហប្រដាប់ដោយតម្រុយអូតូណរមេ $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ គេមានចំណុច $A(5,-5,2), B(-1,1,0), C(0,1,2)$ និង $D(6,6,-1)$ ។
ក. បង្ហាញថាចំណុច $A, B, C$ មិននៅលើបន្ទាត់តែមួយ។
ខ. បង្ហាញថាត្រីកោណ $BCD$ ជាត្រីកោណកែង និងរកផ្ទៃក្រឡារបស់ត្រីកោណនេះ។
២. គេឲ្យសមីការ $12(xy+3)-(3x+2y)^2=0$
ក. បង្ហាញថាសមីការនេះជាសមីការអេលីប
ខ. ចូររកប្រវែងអ័ក្សតូច អ័ក្សធំ និងកូអរដោនេនៃកំពូលទាំងពីរ រួចសង់អេលីបនេះ។

VI. (១០ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

ក. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): 3y''=9y-6y'$
ខ. រកចម្លើយពិសេសមួយរបស់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E)$ ដែល $y(0)=1$ និង $y'(1)=e$ ។ $(\ln e = 1)$

VII. (៤០ ពិន្ទុ) អនុគមន៍

គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $f(x)=4-x-2e^{-x}$ ។ តាង $(C)$ ក្រាបរបស់ $f$ ។
A. ១. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថាគ្រប់ចំនួនពិត $x; f(x) = \frac{4e^x-xe^x-2}{e^x}$ ។ គណនា $\lim_{x\to+\infty} f(x); \lim_{x\to-\infty} f(x)$ $(\lim_{x\to-\infty} xe^x=0)$
២. បង្ហាញថាបន្ទាត់ $(D)$ ដែលមានសមីការ $y=-x+4$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ ។
៣. សិក្សាទីតាំងនៃ $(C)$ ធៀបនឹង $(D)$ ។
B. ១. គណនា $f'(x)$ ដែល $f'(x)$ ជាដេរីវេនៃ $f(x)$ ។ សិក្សាអថេរភាពនៃ $f$ និងគណនាតម្លៃអតិបរមារបស់ $f$ ។
២. $A$ ជាចំណុចនៃ $(C)$ ដែលមានអាប់ស៊ីស $0$ ។ រកសមីការបន្ទាត់ប៉ះ $(T)$ ទៅនឹងក្រាប $(C)$ ត្រង់ចំណុច $A$ ។
៣. បង្ហាញថាសមីការ $f(x)=0$ មានចម្លើយតែមួយគត់ $\beta$ នៅក្នុងចន្លោះ $[-1,0]$ ។
៤. សង់បន្ទាត់ប៉ះ $(T)$ អាស៊ីមតូត $(D)$ និងក្រាប $(C)$ ។