វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី៩

I. (១០ ពិន្ទុ) គណនាលីមីត

ក. $\lim_{x\to 1} \frac{\ln x + 1}{x^2}$ (ផ្ទៀងផ្ទាត់៖ $\lim_{x\to 1} \frac{\ln x}{x^2-1}$)
ខ. $\lim_{x\to 1} \frac{\sqrt[3]{2x-1}-1}{\sqrt{x}-1}$
គ. $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sin 3x}$

II. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាអាំងតេក្រាល

ក. $I = \int_1^2 (4x^3-5x^2+6x+9)dx$
ខ. $J = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x dx$
គ. $K = \int_1^2 \frac{x}{(x^2+2)^2}dx$

III. (១៥ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = -1+i$ និង $z_2 = 1+i$ ។
ក. គណនា $z_1+z_2, z_1-z_2$ និង $z_1 \times z_2$ ។
ខ. សរសេរ $z_1$ និង $z_2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។
គ. បង្ហាញថា $z_1$ និង $z_2$ ជាឫសនៃសមីការ $x^2-2xi-2=0$ ។

IV. (១០ ពិន្ទុ) ប្រូបាប

ក្នុងក្រុមមួយមានសិស្ស ៩នាក់ ក្នុងនោះមានស្រី ៤នាក់ និងប្រុស ៥នាក់។ គណនាប្រូបាបនៃការជ្រើសរើសសិស្ស ៣នាក់ដោយចៃដន្យ៖
A: គណនាកម្មការិនីដែលមានសុទ្ធតែស្រី។
B: គណនាកម្មការិនីដែលមានប្រុស ២នាក់ និងស្រី ១នាក់។
C: គណនាកម្មការិនីដែលមានស្រីយ៉ាងតិច ២នាក់។

V. (៤០ ពិន្ទុ)

១. ក្នុងលំហប្រដាប់ដោយតម្រុយអូតូណរមេ $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ គេមានចំណុច $P(2,0,1), Q(3,4,-2)$ និង $R(-1,3,2)$ ។
ក. ចូរដៅចំណុច $P, Q$ និង $R$ ក្នុងតម្រុយតែមួយ។
ខ. រកវ៉ិចទ័រ $\vec{PQ}, |\vec{PQ}|$ និង $\vec{QR}$ ។
គ. សរសេរសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ $(PQ)$ ។
ឃ. សរសេរសមីការប្លង់ $PQR$ ។
២. គេឲ្យសមីការទូទៅនៃអេលីប $(E): 4x^2+9y^2-8x+36y+4=0$ ។
ក. រកអក្សរនៃផ្ចិត កំពូល កំណុំ និងអិចសង់ទ្រីស៊ីតេនៃអេលីប។
ខ. រកអក្សរនៃចំណុចប្រសព្វរវាង $(E)$ និងអ័ក្សទាំងពីរនៃតម្រុយ។ សង់អេលីបនេះ។ (គេឲ្យ $\frac{4\sqrt{2}}{3}=1.9$) ។
៣. គេមានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''-3y'+2y=2x+1$ ។
ក. ដោះស្រាយសមីការ $(F): y''-3y'+2y=0$ ។
ខ. ចូរកំណត់ចំនួនពិត $a$ និង $b$ ដើម្បីឲ្យ $y_p=ax+b$ ជាចម្លើយនៃ $(E)$ រួចទាញរកចម្លើយទូទៅនៃសមីការ $(E)$ ។

VI. (៣៥ ពិន្ទុ) អនុគមន៍

គេឲ្យអនុគមន៍ $f(x)=x+2-\frac{4e^x}{e^x+3}$ មានក្រាបតំណាង $(C)$ ។
១. ក. គណនា $\lim_{x\to-\infty} f(x)$ ។
ខ. បង្ហាញថាបន្ទាត់ $(D): y=x+2$ ជាសមីការអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ សិក្សាទីតាំងធៀបរវាងក្រាប $(C)$ និងបន្ទាត់ $(D)$ ។
២. ក. បង្ហាញថាគ្រប់ $x \in \mathbb{R}$ គេបាន $f(x)=x-2+\frac{12}{e^x+3}$ ។
ខ. គណនា $\lim_{x\to+\infty} f(x)$ ។ បង្ហាញថាបន្ទាត់ $(\Delta): y=x-2$ ជាសមីការអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ ។ សិក្សាទីតាំងធៀបរវាងក្រាប $(C)$ និងបន្ទាត់ $(\Delta)$ ។
៣. ស្រាយបំភ្លឺថាគ្រប់ $x \in \mathbb{R}$ គេបាន $f'(x)=\left(\frac{e^x-3}{e^x+3}\right)^2$ ។ សិក្សាសញ្ញានៃ $f'(x)$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ ។
៤. សង់បន្ទាត់ $(D), (\Delta)$ និងក្រាប $(C)$ ក្នុងតម្រុយ $(O,\vec{i},\vec{j})$ ។